Metode Gauss dan Metode Gauss-Jordan

Himpunan berhingga dari persamaan - persamaan linear (persamaan yang peubahnya berpangkat satu, bukan merupakan hasil kali atau akar peubah dan bukan sebagai argumen fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial) dalam n  variable x₁, x₂, …, x_n dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.

Bentuk umum sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variable x₁, x₂, …, x_n dapat ditulis sebagai :

dengan a_ij dan b_i (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) adalah konstanta-konstanta real.

Sebuah Sistem Persamaan Linear atau SPL  dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, sebagai berikut.

Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x₁, x₂, …, x_n dapat dinyatakan sebagai matriks A X = B

dengan A_{m x n} = (a_ij ), X_{m x 1} = (x _j) , dan B_{m x 1} = (b_i) .

Dimana A adalah matriks dari koefisien-koefisien persamaan linear, X merupakan matriks m x 1 yang berisi variabel-varibel yang terdapat dalam persamaan linear, sedangkan b adalah matriks m x 1 yang terdiri dari konstanta dari SPL tersebut.

contoh :

 

 

 

Jika diubah dalam bentuk matriks, maka menjadi

 

Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a₁x₁ + a₂ x₂ + … + a_nx_n = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s₁, s₂, …, s_n sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x₁ = s₁, x₂ = s₂, …, x_n = s_n. Himpunan semua penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier tidak harus dengan metode eliminasi, metode subtitusi atau campuran antara eliminasi dan subtitusi. Ada juga metode penyelesaian SPL dengan merubahnya menjadi suatu matriks. Metode-metode tersebut adalah metode Penyelesaian Gauss dan Gauss Jordan. Penyelesaian Gaauss atau Gauss Jordan merupakan suatu metode penyelesaian SPL (Sistem Persamaan Linier) yang menyatakan persamaan linier menjadi matriks.

Eliminasi Gauss merupakan proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar ([A/b]) ke bentuk eselon baris. Lalu dengan melakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabelnya.

Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris, yaitu bentuk matriks yang diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai 0. Bentuk ini bisa disebut matriks segitiga atas seperti berikut:

Eliminasi Gauss-Jordan merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss yaitu proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam bentuk matriks diperbesar ([A/b])  ke bentuk eselon baris tereduksi. Setelah menjadi matriks Eselon Baris Tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

• Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
• Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
• Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
• Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Berikut merupakan bentuk-brntuk matriks eselon baris tereduksi :

A=                                    ;    B =                         ; C =

Untuk pengoperasian menggunakan metode Gauss, harus memenuhi ketiga syarat di atas. Sedangkan untuk mennggunakan metode Gauss-Jordan, keempat persyaratan tersebut harus terpenuhi semua.

Eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan dapat digunakan untuk semua sistem persamaan linear tanpa tergantung pada banyaknya persamaan dan banyaknya variabel. Khusus untuk SPL yang banyak variabelnya sama dengan banyak persamaannya, kita dapat menggunakan pengertian determinan untuk memperoleh penyelesaiannya.
untuk lebih memahami, silahkan uji kemampuan anda pada soal ini